高中物理(二上)
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Chap 3-3 重心與質心

一、重心與質心

1. 重心 (G, center of gravity):質點系統內各質點所受重力的合力之作用點。

【補充】物體由許多質點所構成,而物體的重量就是這些質點所受重力的和。若取一點,無論物體擺放方向為何,各質點所受重力對此點的力矩和皆為 0,則此點稱為該物體的重心。

2. 質心 (CM, center of mass):質點系統內各質點的幾何分佈中心,在運動中該點可以代表整體。
3. 在均勻重力場中,質心與重心的位置相同。


二、重心的位置

1. 實測法:
(1) 將一物體以細繩懸吊而靜止平衡時,懸線的方向必通過該物體的重心;即張力 T 與該物體的重量 W 恰相平衡。
(2) 將細繩繫於 A 點,則物體靜止平衡時,重心 G 在 A 點的正下方;再將細繩繫於 B 點,重心 G 亦應在 B 點的正下方,故重心在二次懸線延長線的交點。
(3) 規則形狀的物體:重心即位於其幾何對稱中心。

2. 坐標法:
(1) 一維:x_G\, =\, \frac{\Sigma W_{\imath}x_{\imath}}{\Sigma W_{\imath}}\, =\, \frac{W_1x_1\, +\, W_2x_2\, +\, \cdots}{W_1\, +\, W_2\, +\, \cdots}

(2) 二維:x_G\, =\, \frac{\Sigma W_{\imath}x_{\imath}}{\Sigma W_{\imath}}
      y_G\, =\, \frac{\Sigma W_{\imath}y_{\imath}}{\Sigma W_{\imath}}

(3) 三維:x_G\, =\, \frac{\Sigma W_{\imath}x_{\imath}}{\Sigma W_{\imath}}
      y_G\, =\, \frac{\Sigma W_{\imath}y_{\imath}}{\Sigma W_{\imath}}
      z_G\, =\, \frac{\Sigma W_{\imath}z_{\imath}}{\Sigma W_{\imath}}

3. 二物體相距 R,求重心位置:
(1) W_1x_1\, =\, W_2x_2
(2) x_1\, =\, \frac{W_2}{W_1\, +\, W_2}R\, =\, \frac{R}{1\, +\, \frac{W_1}{W_2}}  ,  x_2\, =\, \frac{W_1}{W_1\, +\, W_2}R\, =\, \frac{R}{1\, +\, \frac{W_2}{W_1}}


三、質量中心的位置

1. 坐標法:
(1) 一維:x_c\, =\, \frac{\Sigma m_{\imath}x_{\imath}}{\Sigma m_{\imath}}\, =\, \frac{m_1x_1\, +\, m_2x_2\, +\, \cdots}{m_1\, +\, m_2\, +\, \cdots}

(2) 二維:x_c\, =\, \frac{\Sigma m_{\imath}x_{\imath}}{\Sigma m_{\imath}}
      y_c\, =\, \frac{\Sigma m_{\imath}y_{\imath}}{\Sigma m_{\imath}}

(3) 三維:x_c\, =\, \frac{\Sigma m_{\imath}x_{\imath}}{\Sigma m_{\imath}}
      y_c\, =\, \frac{\Sigma m_{\imath}y_{\imath}}{\Sigma m_{\imath}}
      z_c\, =\, \frac{\Sigma m_{\imath}z_{\imath}}{\Sigma m_{\imath}}

3. 二物體相距 R,求重心位置:
(1) m_1x_1\, =\, m_2x_2
(2) x_1\, =\, \frac{m_2}{m_1\, +\, m_2}R\, =\, \frac{R}{1\, +\, \frac{m_1}{m_2}}  ,  x_2\, =\, \frac{m_1}{m_1\, +\, m_2}R\, =\, \frac{R}{1\, +\, \frac{m_2}{m_1}}


四、天平

1. 天平,又稱天秤:
(1) 應用力矩平衡原理,在重力場中使用,藉比較待測物體與標準質量(即砝碼)所受重力的大小而測得質量,所測得的質量與重力加速度無關。
(2) 等臂天平:
a. 如托盤天平、上皿天平、精密分析天平等。
b. 若 m_s 表示砝碼質量,則待測物體質量為 mg\ell\, =\, m_sg\ell \quad \Rightarrow \quad m\, =\, m_s
(3) 不等臂天平:
a. 如三樑天平、桿秤等。
b. 若 m_s 表示砝碼質量,則待測物體質量為 mg\ell\, =\, m_sg\ell_s \quad \Rightarrow \quad m\, =\, m_s (\frac{\ell_s}{\ell})
(4) 若無重力作用時,依等價原理知,在加速度坐標系中,仍可使用天平測得質量。
(5) 天平所測得的質量為重力質量。

2. 質量的修正:
(1) 等臂天平的二盤不等重時,將待測物體置左盤,秤得質量為 m_1;再將待測物體置右盤,秤得質量為 m_2,則其真正質量為 m\, =\, (m_1\, +\, m_2)/2
(2) 不等臂天平於調整平衡後,將待測物體置左盤,秤得質量為 m_1;再將待測物體置右盤,秤得質量為 m_2,則其真正質量為 m\, =\, \sqrt{m_1m_2}

3. 天平的靈敏度:
(1) 靈敏度:待測物單位重量變化 \Delta W 所引起的秤盤傾斜角θ。
(2) 平衡條件:(\Delta W)(a\, \cos\theta)\, =\, W_o(L\, \sin\theta)
      \Rightarrow 靈敏度 \varepsilon\, =\, \frac{\theta}{\Delta W}\, =\, \frac{a}{W_oL}
      式中:W_o 表示秤盤及橫桿整個可活動部份的重量;
         L 表示秤盤及橫桿的重心與支點的距離;
         a 表示等臂天平秤桿的臂長。

3. 平衡的穩度:
(1) 穩定平衡:重心在支點下方,或稍移動時重心位置會升高、位能會增加,故有回復原來位置的傾向。
(2) 不穩定平衡:重心在支點上方,或稍移動時重心位置會降低、位能會減少,故只要移動就不易回復原來位置。
(3) 隨遇平衡:稍移動時,重心位置不會升高也不會降低、位能保持不變,若移動後即保持在新的位置。

(圖)

 

0最後修改紀錄: 2009/10/17(Sat) 19:00:48


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