高中物理(高一)
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補充教材:地球半徑的計算
(Chap1-3-2 長度的測量與單位)


在紀元前三世紀,古埃及的亞歷山大利亞 (Alexandria),有一座融合了研究和教學的高等學府,稱為博學院 (Museum),就好像是現在的圖書館及大學一樣。繼歐幾里德 (Euclid) 擔任圖書館館長及大學校長的,是偉大的思想家厄拉托斯德尼茲 (Eratosthenes)。他是天文學家、數學家及地理學家,他測量了地球的體積-這項驚人的功績,使他揚名千古。

這項測量是在紀元前三世紀進行的,那時候,世上還不曾有什麼人猜想大地是個球體呢。測量的詳細經過很值得介紹,因為這件事表現了一宗完美的,但也是樸素的,科學思考。

埃及有座城市,名叫息恩尼 (Syene,現在已改名為 Aswan),在亞歷山大利亞南方約五百六十哩處,城裡有一口深井。厄拉托斯德尼茲知道:在息恩尼城,每當一年之中白天最長的那天 (就是夏至的那一天) 正午,太陽恰好照在頭頂上。在這個時刻,太陽光直射入深井,井底的水上反映出太陽 (表示息恩尼正位於北回歸線)。厄拉托斯德尼茲既是一位數學家,知道角和圓,又相信大地是個球體,便深思熟慮太陽照到井底這件事,擬定了一個計畫。他趁太陽垂直照射息恩尼城的日子及時刻,測量了亞歷山大利亞城裡一個方尖石塔投下影子的長度。既查明影子的長度,又測量了方尖石塔的高度,這位希臘的天才人物居然就能計算出地球的體積!

        

上圖表示這件事其實相當容易了解。我們可以假定厄拉托斯德尼茲畫出了方尖石塔及其投影的圖,他從塔尖畫一條線,延長到地心,又從塔尖畫一條線到地面上塔影的尖端,然後測量這兩條線相交而成的角的度數,這個角是七又五分之一度。

太陽當時既然是在息恩尼城的頂上,沒有投影,則相關的角度為零度。由此可知,假定地球是個球體,息恩尼和亞歷山大利亞之間的距離五百六十哩,等於地球圓周的七又五分之一度;那麼,三百六十度,即地球整個的圓周該等於多少哩呢?厄拉托斯德尼茲用七又五分之一,即七點二,除三百六十,得到五十,再乘以五百六十,得數是二萬八千哩,即循著地球赤道繞地球一圈的總長度。

由於息恩尼和亞歷山大利亞之間的距離測量得不準確,厄拉托斯德尼茲算出的結果比今天我們所公認的概數二萬五千哩,多出了三千哩。但這個差誤絲毫不能減損厄拉托斯德尼茲這一樁智力上的功績。他光憑心智上的力量,便測出地球的體積,而當時他和一般人所熟知的,還僅有地球上的一小部分地方,即地中海地區。厄拉托斯德尼茲預示了其後幾千年的科學成就。

 Eratosthenes 的算法:地球一周長度:s\, =\, \frac{360}{7.2}\, \times\, 560\, =\, 28,000\; mi
 地球半徑:s\, =\, 2\, \pi\, R\quad \Rightarrow \quad R\, =\, \frac{s}{2\, \pi}\, =\, \frac{28000}{2\, \pi}\, =\, 4,456\; mi

 還可以用幾何公式直接計算:s\, =\, R\, \theta\quad \Rightarrow \quad R\, =\, \frac{s}{\theta}\, =\, \frac{560}{7.2\, \times\, \frac{\pi}{180}}\, =\, 4,456\; mi

 地球半徑的正確值為:R\, =\, 6.4\, \times\, 10\, ^6\; m\, =\, 3,977\; mi

註:改寫自 Heinz Haber 著「星星、原子、人」,今日世界社出版。

可參考網頁:

The Eratosthenes Project
http://www.phys-astro.sonoma.edu/observatory/eratosthenes/#original

Eratosthenes of Cyrene
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Eratosthenes.html
Born: 276 BC in Cyrene, North Africa (now Shahhat, Libya)
Died: 194 BC in Alexandria, Egypt

0最後修改紀錄: 2010/10/03(Sun) 19:59:49


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