高中物理(高一)
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補充教材:科學記號、有效數字與數量級

一、科學記號

1. 定義:任何數均可表為 a\, \times\, 10\, ^n\, 的形式。

2. 條件:1\, \leq\, a\, <\, 10\;\; ;\;\; n\, \in\, Z

3. 不論大數或小數都可以用科學記號表示。

4. 一個數表示成科學記號的形式只有一種。


二、數量級

1. 定義:任何數以最接近該數的「10 的若干次方」形式表示,稱為該數的數量級。

2. 原則:
 (1) 數量級的分界值:\sqrt{10}\, \doteq\, 3.16
 (2) a\, <\, \sqrt{10}\quad \Rightarrow \quad a\, \times\, 10\, ^n\, \doteq\, 10\, ^n
   a\, >\, \sqrt{10}\quad \Rightarrow \quad a\, \times\, 10\, ^n\, \doteq\, 10\, ^{n\, +\, 1}

3. 數量級的運算依指數運算法則:
 (1) 乘除法:二數量級相乘除,即 10 的指數相加減。
   如:10\, ^2\, \times\, 10\, ^3\, =\, 10\, ^5\;\; ;\;\; 10\, ^7\, \div\, 10\, ^2\, =\, 10\, ^5
   如:(10\, ^2)^3\, =\, 10\, ^{2\, \times\, 3}\, =\, 10\, ^6
 (2) 加減法:將二數量級化成相同指數的同類項,再加以合併,即取其較大位數。
   如:10\, ^5\, +\, 10\, ^2\, =\, 10\, ^5\, +\, 0.001\, \times\, 10\, ^5\, =\, 1.001\, \times\, 10\, ^5\, \doteq\, 10\, ^5
   如:10\, ^5\, -\, 10\, ^2\, =\, 10\, ^5\, -\, 0.001\, \times\, 10\, ^5\, =\, 0.999\, \times\, 10\, ^5\, \doteq\, 10\, ^5

 (3) 注意:使用數量級是為了概略估計,因此計算時並不需要精確。


三、有效數字

1. 定義:
 (1) 任意數字,若其所表示的數值皆有意義,稱為有效數字。
 (2) 有效數字由量度而得,在諸確定數字之後加一位估計數字;或在測量儀器精密度之後,加一位估計數字。
 (3) 意義:在直接量度時無法達到 100% 的精確;而依賴估計做間接量度時,估計不一定絕對正確,故需增加一位估計數字。例如:要測量書本的長度時,書本與尺的某一刻度並不能恰好相同,所以在這一刻度與下一刻度之間要估計一下,到底書本的長度大約是一刻度的幾分之幾。

【常考】若拿一支直尺測量長度時,測得的結果為 107.30 cm,則:
 (1) 有效數字為 5 位;
 (2) 1, 0, 7, 3 為確定數字;最後的 0 為估計數字;
 (3) 該直尺的精密度,即其最小刻度為 0.1 cm,即 1 mm。

2. 原則:
 (1) 有效數字位數的判定:
  a. 整數之後的零為無效;若某個零下畫一短橫,則其後的零為無效。
   如:10200 為三位有效數字;10200 為四位有效數字。

  b. 純小數之前的零為無效;帶小數皆為有效。
   如:0.01020 為四位有效數字;10.200 為五位有效數字。

 (2) 科學記號中的 a 部份皆為有效。
   如:1.020\, \times\, 10^{-\, 3}\; 為四位有效數字。

3. 有效數字的運算:(並無公佈的標準計算方法,乘除法稍有爭議)

 (1) 加減法:取估計數字位置最高者,其餘四捨五入(有人取法:四捨六入五成雙)。
   如:12.25\underline{1}\, +\, 20.9\underline{3}\, +\, 42.\underline{1}\, =\, 75.\underline{281}\, \;\; \rightarrow \;\; 75.\underline{3}
   【注意】上下數字相加時,只要其中有一個是估計數字,則所得的和即為估計數字;但若進位則算確定數字。

 (2) 乘除法:
  a. 傳統的計算方法:取最小位數。
   如:\frac{75.\underline{3}}{2.\underline{2}\, \times\, 3.05\underline{2}}\, =\, 11.214...\, \;\; \rightarrow \;\; 1\underline{1}
  b. 仔細的計算方法:同加減法的規定。
   如:\frac{75.\underline{3}}{2.\underline{2}\, \times\, 3.05\underline{2}}\, = ?
     \Rightarrow \quad 2.\underline{2}\, \times\, 3.05\underline{2}\, =\, 6.\underline{7144}\, \;\; \rightarrow \;\; 6.\underline{7}
     ∴ \frac{75.\underline{3}}{6.\underline{7}}\, =\, 1\underline{1}.\underline{24}\, \;\; \rightarrow \;\; 1\underline{1}

 (3) 乘方、開方根:位數不變。
   如:s\, =\, 2\, \pi\, R\, =\, 2\, \times\, 3.14159...\, \times\, 1.3\underline{2}\, =\, 8.2938...\, \;\; \rightarrow \;\; 8.2\underline{9}

0最後修改紀錄: 2010/09/08(Wed) 16:48:15


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