高中物理(高一)
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補充教材:誤差處理

一、精密度

1. 量度儀器的精密度:為量度儀器的最小刻度單位,即有效數字中諸確定數字的最末位。

2. 實驗值的精密度:一組測量值與其平均值的平均偏差對此平均值的比值。
 (1) 某測量值的絕對偏差:\left|\, \Delta\, A\, \right|\, =\, \left|\, A\, -\, A_{av}\, \right|
 (2) 平均偏差:\Delta\, A\, =\, \frac{\Sigma\, \left|\, \Delta\, A\, _i\, \right|}{N}\, =\, \frac{\left|\, \Delta\, A\, _1\, \right|\, +\, \left|\, \Delta\, A\, _2\, \right|\, +\, \cdots\, +\, \left|\, \Delta\, A\, _N\, \right|}{N}
 (3) 精密度:表示同一物理量經多次重複測量後,各測量值彼此之間的偏差程度。若偏差小,則精密度高;若偏差大,則精密度低。
  P\, =\, \frac{\Delta\, A}{A}\, \times100%


二、誤差與準確度

1. 測量誤差:E = 測量值 - 真值 = 實驗值 - 理論值 (或公認值)

2. 相對誤差:E = (測量值 - 真值) / 真值

3. 百分誤差:E% = E × 100%

4. 準確度:表示某物理量的測量值與真值的偏差程度。若偏差小,則準確度高;若偏差大,則準確度低。
  A = 1 - | E% |


三、標準差

1. 平均值:對同一個物理量測得一組 N 個數據 (稱為測量值),即 x_1\; ,\;\; x_2\; ,\;\; \cdots\; ,\;\; x_N
  \overline{x}\, =\, \frac{\sum_{i\, =\, 1}^{N}\, x_i}{N}\, =\, \frac{x_1\, +\, x_2\, +\; \cdots\; +\, x_N}{N}

2. 標準差:
 (1) 一組 N 個測量值的標準差:\sigma_x\, =\, \sqrt{\frac{\sum_{i\, =\, 1}^{N}(x_i\, -\, \overline{x})\; ^2}{N\, -\, 1}}

 (2) 標準差表示測量值的離散程度,標準差愈小表示離散程度愈小,則測量值的精密度愈高;標準差愈大表示離散程度愈大,則測量值的精密度愈低。

 (3) 對於常態分佈的誤差而言,若測量次數 N\; \rightarrow\; \infty\, 時:
  a. 平均值 \overline{x}\; 將趨近於真值 μ。
  b. 標準差 \sigma_x\; 將趨近於一個常數 σ。

 (4) σ 的統計意義:
  a. 測量值 x 出現在真值 ± 1 個標準差範圍內的機率為 68.3%。
  b. 測量值 x 出現在真值 ± 2 個標準差範圍內的機率為 95.4%。
  c. 測量值 x 出現在真值 ± 3 個標準差範圍內的機率為 99.7%。

 (5) N 組平均值的標準差:\sigma_{\overline{x}}\, =\, \frac{\sigma_x}{\sqrt{N}}\;


四、附加差度

1. 附加實際差度:平均值 ± 平均偏差,式中平均偏差 = \frac{\Sigma\, \left|\, \Delta\, A\, _i\, \right|}{N}\,
  x\, \pm\, \Delta\, x\;

2. 附加百分差度:平均值 ± 百分偏差,式中百分偏差 = (平均偏差 / 平均值) × 100%
  x\, \pm\, \frac{\Delta\, x}{x}\, =\, x\, \pm\, \frac{\Delta\, x}{x}\, \times100%

3. 附加標準差:平均值 ± 標準差
  x\, \pm\, \sigma_x\;

4. 附加差度的運算:
 (1) 加減法:和與差的實際差度為各成分數實際差度的和。
  a. (A\, \pm\, \Delta\, A)\, +\, (B\, \pm\, \Delta\, B)\, =\, (A\, +\, B)\, \pm\, (\Delta\, A\, +\, \Delta\, B)
  b. (A\, \pm\, \Delta\, A)\, -\, (B\, \pm\, \Delta\, B)\, =\, (A\, -\, B)\, \pm\, (\Delta\, A\, +\, \Delta\, B)

 (2) 乘除法:積與商的百分差度為各成分數百分差度的和。
  a. (A\, \pm\, \frac{\Delta\, A}{A})\, (B\, \pm\, \frac{\Delta\, B}{B})\, =\, AB\, \pm\, (\frac{\Delta\, A}{A}\, +\, \frac{\Delta\, B}{B})\quad \Rightarrow
   (A\, \pm\, \Delta\, A)\, (B\, \pm\, \Delta\, B)\, =\, AB\, \pm\, AB\, (\frac{\Delta\, A}{A}\, +\, \frac{\Delta\, B}{B})\, =\, AB\, \pm\, (B\, \Delta\, A\, +\, A\, \Delta\, B)
  b. \frac{A\, \pm\, \frac{\Delta\, A}{A}}{B\, \pm\, \frac{\Delta\, B}{B}}\, =\, \frac{A}{B}\, \pm\, (\frac{\Delta\, A}{A}\, +\, \frac{\Delta\, B}{B})\quad \Rightarrow
   \frac{A\, \pm\, \Delta\, A}{B\, \pm\, \Delta\, B}\, =\, \frac{A}{B}\, \pm\, \frac{A}{B}\, (\frac{\Delta\, A}{A}\, +\, \frac{\Delta\, B}{B})\, =\, \frac{A}{B}\, \pm\, (\frac{B\, \Delta\, A\, +\, A\, \Delta\, B}{B\, ^2})

 (3) 推廣:
  a. (A\, \pm\, \Delta\, A)\, ^n\, =\, A\, ^n\, \pm\, A\, ^n\, (n\, \frac{\Delta\, A}{A})
  b. \sqrt[n]{A\, \pm\, \Delta\, A}\, =\, \sqrt[n]{A}\, \pm\, \sqrt[n]{A}\, (n\, \frac{\Delta\, A}{A})
  c. \frac{(A\, \pm\, \Delta\, A)\, (B\, \pm\, \Delta\, B)}{C\, \pm\, \Delta\, C}\, =\, \frac{AB}{C}\, \pm\, \frac{AB}{C}\, (\frac{\Delta\, A}{A}\, +\, \frac{\Delta\, B}{B}\, +\, \frac{\Delta\, C}{C})

0最後修改紀錄: 2005/10/16(Sun) 21:08:37


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