高中物理(高一)
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第三章 物體的運動

第三節 克卜勒行星定律

本節重點:
一、天文觀測的演進
二、克卜勒第一行星定律(軌道定律)
三、克卜勒第二行星定律(面積定律)
四、克卜勒第三行星定律(週期定律)

一、天文觀測的演進

一、天文觀測的演進:

1. 地心說:

(1) 古希臘人觀察日月星辰週而復始地自東方升起、向西方落下,因而發展出地心說的概念,認為地球是宇宙中心。

 * 事實上滿天星斗自東向西運動,環繞著北極星旋轉(照片顯示星軌的中心點其實是在北極星附近)

(圖)星軌照片:請上網自行搜尋

(2) 天文學家喜帕恰斯(Hipparchus)記錄了大量觀測與研究成果。

(3) 古希臘天文學家托勒密 (Ptolemy) 總結了希臘古天文學的成就,寫成《天文學大成》,用偏心圓或小輪體系解釋天體的運動。

 a. 主張地球是宇宙中心,其他天體環繞地球作等速率圓周運動;

 b. 行星繞著定點作小圓軌道的圓周運動,此定點再繞著地球作大圓軌道的圓周運動,地球不在圓心,略偏離圓心。

 c. 小圓軌道稱為周轉圓(epicycle,又稱本輪),偏心大圓軌道稱為從圓(deferent,又稱均輪)

(圖)本輪與均輪

2. 日心說:

(1) 波蘭天文學家哥白尼 (Copernicus) 經過多年的細心測量及思考,發表《天體運行論》,提出日心說。

 a. 認為太陽是宇宙中心。

 b. 所有行星以圓形軌道環繞太陽運行;月球則環繞地球運行。

(2) 優點:不需藉助大小輪的說法,可以說明行星的逆行現象。

3. 克卜勒行星定律:

(1) 丹麥天文學家第谷 (Tycho) 進行了長達二十多年的細心觀測,累計了大量的精確數據。

(2) 德國天文學家克卜勒 (Kepler) 的數學分析能力很強,整理了第谷的觀測數據,認為行星軌道並不是正圓,太陽也不在圓心。將哥白尼的日心說加以修正,發表了三大行星定律。

(3) 克卜勒行星定律是克卜勒累積前人觀測資料,所作的歸納性結果。

(4) 對於常人而言,行星的運行極不明顯;但是經過天文學家的細心觀測及克卜勒的數學歸納,使得三大行星定律成為明確的規律,使克卜勒被尊稱為天空的立法者。

二、克卜勒第一行星定律(軌道定律)

二、克卜勒第一行星定律:

1. 克卜勒第一定律又稱為軌道定律,說明軌道的形狀。

2. 每一行星均以橢圓形軌道環繞太陽運行,太陽位於橢圓的兩個焦點之一。

(1) 橢圓的焦點並非橢圓的對稱中心(長短軸的交點)。

(2) 圓有圓心及半徑;橢圓則有焦點及半長軸及半短軸。

 * 橢圓的「焦點」並非「交點」。

(3) 常有人漏掉太陽位於橢圓的焦點上這個條件。

3. 橢圓的數學性質:

(1) 橢圓的標準式:\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1

(2) 橢圓半長軸:a;半短軸:b;焦點到橢圓中心的距離:c= \sqrt{a^2 -b^2}

(圖)數學的橢圓

(3) 橢圓的離心率:e= \frac{c}{a} \;\; (0<e<1)

 a. 離心率可以表示橢圓的扁平程度,離心率愈小表示軌道愈圓;離心率愈大表示軌道愈扁平。

 b. e=0 表示正圓;e=1 表示長度為 2a 的線段。

(4) 橢圓的扁平率:f= \frac{a-b}{a} \;\; (0<f<1)

 a. 扁平率也可以表示橢圓的扁平程度,扁平率愈小表示軌道愈圓;扁平率愈大表示軌道愈扁平。

 b. f=0 表示正圓;f=1 表示長度為 2a 的線段。

4. 近日點與遠日點的性質:

(1) 近日距:R_1 =a-c;遠日距:R_2 =a+c

(2) 地球通過近日點及遠日點的時間:

 a. 近日點:每年的1月4日或5日(北半球冬天)。

 b. 遠日點:每年的7月4日或5日(北半球夏天)。

 * 會不會覺得很奇怪,為什麼地球離開太陽最近時是冬天,而地球離開太陽最遠時卻是夏天?

(3) 太陽的視直徑:

 a. 近日點:自地球上看太陽覺得最大。

 b. 遠日點:自地球上看太陽覺得最小。

 * 早晨、傍晚的太陽看起來較大;中午的太陽看起來較小,其原因是太陽光經過大氣層產生折射的影響,與太陽的遠近無關。

 (4) 日蝕:

 a. 近日點:產生日環蝕多在冬季。

 * 請上網查詢最近的日蝕:2010年1月15日上午的日環蝕。

 b. 遠日點:產生日全蝕多在夏季。

三、克卜勒第二行星定律(面積定律)

三、克卜勒第二行星定律:

1. 克卜勒第二定律又稱為等面積定律,也有人稱為面積定律。

2. 行星與太陽的連線,在相等的時間內掠掃相等的面積。

3. 面積速度:

(1) 面積速度:單位時間內所經過的面積,v_A =\frac{\Delta A}{\Delta \, t}

(2) 圓周軌道運動時的面積速度:v_A =\frac{\pi R^2}{T}

(3) 橢圓軌道運動時的面積速度:v_A =\frac{\pi ab}{T}

4. 近日點與遠日點:

(1) 面積速度:在近日點及遠日點附近極小範圍,掠掃面積可視為扇形面積,半徑為 R、弧長為 ds,則扇形面積 dA 為:dA= \frac{1}{2} Rds,則
    v_A =\frac{dA}{d\, t} =\frac{\frac{1}{2} Rds}{d\, t} =\frac{1}{2}Rv


(圖)扇形面積

(2) 軌道速度:v_{A,1} = v_{A,2} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2}R_1v_1 = \frac{1}{2}R_2v_2,則 v\propto \frac{1}{R}
    \frac{v_1}{v_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{a+c}{a-c} = \frac{1+e}{1-e}

(3) 動能:\frac{K_1}{K_2} = (\frac{v_2}{v_1})^2 = (\frac{R_2}{R_1})^2,則 K\propto \frac{1}{R^2}

(圖)近日點、遠日點

(4) 向心加速度(法線加速度):

 a. 由萬有引力推導:a_c = \frac{F_g}{m} = \frac{ = \frac{GMm}{R^2}}{m} = \frac{GM}{R^2} \propto \frac{1}{R^2} \quad \Rightarrow \quad \frac{a_1}{a_2} = (\frac{R_2}{R_1})^2

 * 此處的 R 為近日距及遠日距。

 b. 由向心加速度公式推導:a_c = \frac{v^2}{r} \propto v^2 \propto \frac{1}{R^2} \quad \Rightarrow \quad \frac{a_1}{a_2} = (\frac{v_1}{v_2})^2 = (\frac{R_2}{R_1})^2

 * 此處的 r 為軌道處的曲率半徑,並不是近日距、遠日距、也不是平均軌道半徑。

5. 軌道其他各點:(超過高一教材範圍)

(1) 面積速度:在軌道其他各點附近極小範圍,掠掃面積不能視為扇形面積,軌道應取垂直分量:dA= \frac{1}{2} Rds \, \sin \theta
,則 v_A = \frac{dA}{d\, t} = \frac{\frac{1}{2} Rds \, \sin \theta}{d\, t} = \frac{1}{2}Rv \, \sin \theta

(圖)其他各點取軌道的垂直分量

(2) 軌道速度:v_{A,1} = v_{A,2} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2}R_1 v_1 \, \sin \theta_1 = \frac{1}{2}R_2 v_2 \, \sin \theta_2
,則
    \frac{v_1}{v_2} = \frac{R_2 \, \sin \theta_2}{R_1 \, \sin \theta_1} \quad \Rightarrow \quad v\propto \frac{1}{R\, \sin \theta}

四、克卜勒第三行星定律(週期定律)

四、克卜勒第三行星定律:

1. 克卜勒第三定律又稱為週期定律。

2. 對環繞太陽的所有行星而言,平均軌道半徑的立方與公轉週期的平方成正比。

(1) R^3 \propto T^2 \quad \Rightarrow \quad \frac{R^3}{T^2} = K

(2) 克卜勒常數 K 與軌道的力源質量有關,不能混用,例如:

 a. 太陽系的諸行星繞太陽運行時,使用太陽的克卜勒常數 K_S

 b. 人造衛星與月球繞地球運行時,使用地球的克卜勒常數 K_E

 * 故太陽系的諸行星遵守克卜勒第三定律,人造衛星與月球遵守克卜勒第三定律;而不能說行星與月球遵守克卜勒第三定律。

3. 平均軌道半徑:

(1) 平均軌道半徑為近日距與遠日距的算術平均數,即橢圓軌道的半長軸:

    R_{av} = \frac{R_1 + R_2}{2} = a

 * 克卜勒第三定律將橢圓軌道視為圓形軌道:

    a. 將太陽自橢圓焦點移至長短軸交點作為圓心。

    b. 以橢圓半長軸為半徑畫出圓軌道。

    c. 有興趣的同學可以證明看看,為什麼可以將平均軌道半徑視為近日距與遠日距的算術平均數,即橢圓軌道的半長軸;而非半長軸與半短軸的算術平均數?

(圖)

(2) 通常會誤以為平均軌道半徑是半長軸與半短軸的算術平均數。

(3) 若測得近日距,可以推算遠日距:R_2 = R_{av} - R_1

 * 例如:彗星軌道為極扁平的橢圓,因此在接近太陽時可以看見,但距太陽較遠時則不可見,故可用平均軌道半徑推算遠日距。

 

0最後修改紀錄: 2010/10/13(Wed) 14:15:45


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