高中物理(高一)
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第四章 物質間的基本交互作用

第一節進階教材 重力場

一、重力場定義:

1. 場 (field):表示物理量分佈、佔有的空間範圍。

2. 重力場:重力作用所及的空間,具有質量的物體在重力場中會受到重力的作用。

3. 重力場強度:

(1) 定義:在重力場中,單位質量物體所受的重力,稱為該位置的重力場強度,以 \vec{g\,} 表示,簡稱重力場:
  \vec{g\,} \, =\, \frac{\vec{F_g}}{m}

(2) 單位:[g] \, =\, \frac{[F]}{[m]} \, =\, N/kg

(3) 雖然 N/kg 可以化為 m/s2,但這兩個單位使用在不同情況,N/kg 為重力場強度的單位;而 m/s2 為重力加速度的單位。

(4) 若某位置的重力場強度為 g N/kg,則物體在該位置所受的重力加速度為 g m/s2

二、地球表面的重力場:

1. 重要數據:

(1) 萬有引力常數:G\, =\, 6.67\times 10^{-11} \; N\cdot m^2/kg^2 \, =\, 6.67\times 10^{-11} \; m^3 /kg \cdot s^2
(2) 地球質量:M\, =\, 5.98\times 10^{24}\; kg
(3) 地球密度:\rho \, =\, 5.5\; g/cm^3 \, =\, 5.5\times 10^3 \; kg/m^3
(4) 地球半徑:R_e\, =\, 6.4\times 10^6\; m

2. 物體 m 與地球之間的重力:F_g\, =\, \frac{GMm}{R^2}

3. 地球表面的重力場強度:

(1) F_g\, =\, \frac{GMm}{R_e^2} \quad \Rightarrow
  g_0 \, =\, \frac{F_g}{m} \, =\, \frac{GM}{R_e^2} \, =\, \frac{(6.67\times 10^{-11} \; N\cdot m^2/kg^2)\, (5.98\times 10^{24}\; kg)}{(6.4\times 10^6\; m)^2} \, =\, 9.80\; N/kg

(2) 二極的半徑稍小 R = 6356 km,則 g二極 = 9.832 N/kg

(3) 赤道的半徑稍大 R = 6378 km,則 g赤道 = 9.779 N/kg

(4) 地球質量為 M\, =\, \frac{4}{3} \pi R_e^3 \times \rho \quad \Rightarrow \quad g_0 \, =\, \frac{GM}{R_e^2} \, =\, \frac{G}{R_e^2} \, \times (\frac{4}{3} \, \pi R_e^3 \times \rho ) \, =\, \frac{4}{3} \, G\pi \rho R_e

4. 地球外的重力場強度:

(1)  F_g\, =\, \frac{GMm}{R^2} \quad \Rightarrow \quad g\, =\, \frac{F_g}{m} \, =\, \frac{GM}{R^2} \, \propto \, \frac{1}{R^2}

(2)  g\, \propto \, \frac{1}{R^2} \quad \Rightarrow \quad \frac{g}{g_0} \, =\, (\frac{R_e}{R})^2 \quad \Rightarrow \quad\, g\, =\, g_0 \, (\frac{R_e}{R})^2

(3) 難題:距離地面高 h 處的重力場強度:(超過範圍,不做推導)

  g\, =\, \frac{GM}{(R_e \, +\, h)^2} \, =\, \frac{GM}{R_e^2 \, (1\, +\, \frac{h}{R_e})^2} \, \approx \, \frac{GM}{R_e^2 \, (1\, +\, \frac{2h}{R_e})} \, \approx \, \frac{GM}{R_e^2}\, [1\, -\, \frac{2h}{R_e}]

5. 無窮遠處的重力場強度:g\, \rightarrow \, 0

6. 地球內部的重力場強度:(超過範圍,不做推導)

(1)  F_g\, =\, \frac{GM_r m}{r^2} \quad \Rightarrow \quad g\, =\, \frac{F_g}{m} \, =\, \frac{GM_r}{r^2}

 a. 內球質量為 \frac{M_r}{M} \, =\, \frac{\frac{4}{3} \pi r^3 \rho}{\frac{4}{3} \pi R_e^3 \rho} \, =\, (\frac{r}{R_e})^3 \quad \Rightarrow \quad M_r \, =\, M\, (\frac{r}{R_e})^3
       則重力場強度:g\, =\, \frac{GM_r}{r^2} \, =\, \frac{G}{r^2} \times M\, (\frac{r}{R_e})^3 \, =\, \frac{GMr}{R_e^3} \, \propto \, r

 b. 內球質量為 M_r \, =\, \frac{4}{3} \pi r^3 \rho
       則重力場強度:g\, =\, \frac{GM_r}{r^2} \, =\, \frac{G}{r^2} \times \frac{4}{3} \pi r^3 \rho \, =\, \frac{4}{3} G \pi \rho r\, \propto \, r

(2)  g\, \propto \, r \quad \Rightarrow \quad \frac{g}{g_e} \, =\, \frac{r}{R_e} \quad \Rightarrow \quad\, g\, =\, g_e \, (\frac{r}{R_e})

(圖)(圖)

7. 物體在重力場內所受的重力:

(1) 所受的重力即地球的萬有引力:

 a. 地球表面:F_g\, =\, \frac{GMm}{R_e^2}

 b. 地球外 :F_g\, =\, \frac{GMm}{R^2}

 c. 地球內部:F_g\, =\, \frac{GM_r m}{r^2} \, =\, \frac{Gm}{r^2} \times M\, (\frac{r}{R_e})^3 \, =\, \frac{Gm}{r^2} \times \frac{4}{3} \pi r^3 \rho

(2) 所受的重力即物體的質量乘以地球的重力場強度:F_g \, =\, mg

 a. 地球表面:F_g\, =\, mg_e \, =\, m\times \frac{GM}{R_e^2} \, =\, m\times \frac{4}{3} \, G\pi \rho R_e

 b. 地球外 :F_g\, =\, mg\, =\, m\times \frac{GM}{R^2} \, =\, m\times g_e \, (\frac{R_e}{R})^2

 c. 地球內部:F_g\, =\, mg \, =\, m\times \frac{4}{3} G \pi \rho r\, =\, m\times g_e \, (\frac{r}{R_e})

 

0最後修改紀錄: 2010/10/26(Tue) 08:58:19


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